قیمت‌ها چه اطلاعاتی به ما می‌دهند؟

فرض کنید دنیایی با دو روز وجود دارد: روز صفر و روز یک. برای وضعیت دنیا در روز یک، وقوع دو پیشامد ممکن است: ممکن است به احتمال 50% در وضعیت خوب و به احتمال 50% در وضعیت بد قرار بگیریم. فرض کنید الان در روز صفر هستیم و از اینکه فردا کدام یک از رخدادهای خوب یا بد وقوع می‌دهد خبر نداریم. فرض کنیم یک دارایی داریم که در هر دو حالت خوب یا بد به ما 1 دلار می‌دهد: اسمش را بگذاریم دارایی بدون ریسک. یک دارایی دیگر هم داریم که در صورت وقوع رخداد خوب، به ما 2 دلار میدهد و اگر اوضاع خوب پیش نرود به ما صفر دلار می‌دهد. اسم این یکی را بگذاریم دارایی ریسک‌دار. فعلن از نرخ بهره‌ای که به خاطر یک روز خوابیدن پولمان باید دریافت کنیم صرف‌نظر کنیم و آن را معادل صفر بگیریم.

سوال این است که قیمت دارایی ریسک‌دار ما در روز صفر چقدر است؟

پاسخ درست این سوال با اطلاعات فعلی مشخص نیست. چرا؟ درست است که می‌توانیم امید ریاضی خروجی هر کدام از سرمایه‌گذاری‌هایمان را محاسبه کنیم (رابطه پایین)، اما اینجا با دو سرمایه‌گذاری کاملن متفاوت مواجهیم؛ اولی بدون ریسک است و دومی ریسک دارد. آیا حاضریم برای هر دوی این سرمایه‌گذاری‌ها یک مقدار پول بدهیم؟

E[x] = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2

پاسخ به ترجیحات یا تابع مطلوبیت سرمایه‌گذار ربط دارد. اگر سرمایه‌گذار بی‌تفاوت-به-ریسک باشد، برایش هیچکدام از این دارایی‌ها تفاوتی نمی‌کند، و می‌توانیم با کمک رابطه بالا قیمت را محاسبه کنیم که برای هر دو همان 1 دلار است. اگر سرمایه‌گذار ریسک‌گریز باشد، قاعدتن حاضر نیست برای دارایی ریسک‌دار همان‌قدر پول بدهد که برای دارایی بدون ریسک. در مقابل اگر سرمایه‌گذار ریسک‌دوست باشد (مثلن یک قمارباز)، ارزش بیشتری برای دارایی ریسک‌دار قائل خواهد شد. یعنی قیمت دارایی ریسک‌دار ما نه فقط به احتمال وقوع رخداد خوب یا بد، بلکه به میزان ریسک‌گریزی یا ریسک‌دوستی او نیز بستگی دارد.

حالا بیاییم و از آن طرف مساله را نگاه کنیم.

فرض کنیم که احتمال وقوع رخداد خوب یا بد را نمی‌دانیم، فقط می‌دانیم جمع این دو احتمال طبق تعریف برابر 1 است به اضافه می‌بینیم که یک سرمایه‌گذار پیدا شده که با توجه ریسک‌گریز بودنش، حاضر است 0.5 دلار برای دارایی ریسک‌دار ما بپردازد. آیا می‌توانیم با نگاه کردن به قیمت بفهمیم احتمال وقوع هر یک از اتفاقات خوب یا بد چقدر است؟

با توجه به توضیحات قسمت قبل، دانستن قیمت برای فهمیدن احتمال وقوع هر کدام از رخدادها در عالم واقع کافی نیست. قیمت به ما اطلاعاتی درباره ترکیبی از احتمال وقوع رویدادها و ترجیحات سرمایه‌گذار در مورد ریسک‌ها می‌دهد. تنها به شرطی می‌توانیم احتمالات عالم واقع را از روی قیمت بفهمیم که بدانیم ترجیحات سرمایه‌گذار درباره ریسک چگونه بوده است و این چیزی است که فهمیدن آن اصلن ساده نیست.

حالا رابطه امید ریاضی را دوباره در نظر بگیریم و این بار فرض کنیم یک سرمایه‌گذار بی‌تفاوت-به-ریسک می‌داشتیم و در نتیجه  با این فرض می‌توان از رابطه امید ریاضی استفاده کرد. با حل یک معادله دو مجهولی واضح است که قیمت 0.5 دلار یعنی احتمال وقوع رخداد بد 75% و احتمال وقوع رخداد خوب 25% لحاظ شده است که در نتیجه امید ریاضی ما شده است 0.5 دلار.

\text{price} = E^*[x] = x_1 \times p_1^* + x_2 \times p_2^* = 2 \times p_1 ^*+ 0 \times p_2^* = 0.5 \quad , \quad p_1^* + p_2 ^*= 1

\Rightarrow \quad p_1^* = 0.25\quad , \quad p_2^* = 0.75

در واقع با فرض اینکه سرمایه‌گذار ما بی‌تفاوت-به-ریسک باشد، می‌توانیم برای رخدادهایمان یک مقیاس احتمالاتی در نظر بگیریم که با احتمال وقوع رخداد در عالم واقع بی‌ارتباط نیست اما با آن فرق دارد. به عبارت بهتر احتمال‌های 25% و 75% احتمال‌های وقوع هر یک از رخدادها در عالم واقع نیستند، بلکه احتمال‌هایی هستند که با فرض بی‌تفاوت-به-ریسک بودن سرمایه‌گذار محاسبه شده‌اند. به همین خاطر در مقابل احتمالات عالم واقع که به آنها می‌گویند اندازه احتمالاتی فیزیکی (Physical Probability Measure) به این احتمالات برآمده از قیمت، اندازه احتمالاتی بی‌تفاوت-به-ریسک (Risk-neutral Probability Measure) گفته می‌شود.(+) (علامت * در رابطه بالا را هم برای همین گذاشته‌ایم که معلوم باشد که احتمالات مورد نظر ما تحت اندازه احتمالاتی بی‌تفاوت-به-ریسک هستند نه فیزیکی.)

فرض کنیم در عالم واقع احتمال وقوع رخداد خوب-بد همان 50-50 اولیه باشد. اما احتمالات بی‌تفاوت-به-ریسک به ما می‌گویند این احتمالات 25-75 هستند. می‌شود اینطور فرض کرد که سرمایه‌گذار ما هنگامی که رخداد بد وقوع یافته، از یک ضریب 1.5 برای بزرگ کردن احتمال و در حوالت وقوع رخداد خوب از ضریب 0.5 برای کوچک کردن احتمال مورد نظر استفاده کرده‌ است. حالا بیاییم و رابطه امید ریاضی پیشین را یکجور دیگر بنویسیم:

\text{price} = E^*[x] = x_1 \times p_1^* + x_2 \times p_2^* = x_1 \times  m_1 \times p_1 + x_2 \times m_2 \times p_2 = E[mx]

\text{price} = 2 \times 0.25 + 0 \times 0.75 = 2 \times  0.5 \times 0.5 + 0 \times 1.5 \times 0.5 = 0.5

این یعنی می‌توانیم به کمک یک ضریب که بسته به وقوع رخدادها تغییر می‌کند، ارزش جریانهای مالی که در هر یک از حالت‌های روز یک رخ می‌دهند را طوری تغییر بدهیم که با گرفتن یک امیدریاضی ساده با همان احتمالات فیزیکی به قیمت برسیم. اسم این ضریب را بگذاریم ضریب تنزیل تصادفی (Stochastic Discount Factor) که در مثال بالا با m نشانش دادیم. می‌توان دو جور نسبت به ضریب تنزیل تصادفی شهود داشت. یکی اینکه این ضریب احتمال رخ دادن وقایع در دنیا را وزن‌دهی می‌کند. مثلن برای کسی که ریسک‌گریز است، وزن وقایعی که دوست ندارد را بالا می‌برد و وزن وقایعی که دوست دارد را پایین می‌آورد. یا می‌شود گفت این ضریب به ارزش یک دلار در حالات مختلف دنیا، وزن متفاوتی می‌دهد.

اهمیت دانستن ضریب تنزیل تصادفی یا احتمالات بی‌تفاوت-به-ریسک چیست؟ می‌توان نشان داد در نبود موقعیت‌های آربیتراژ با دانستن ضریب تنزیل تصادفی همراه با احتمالهای فیزیکی و یا با دانستن احتمالهای بی‌تفاوت-به-ریسک برای تمام رخدادها، می‌توانیم قیمت تمام دارایی‌ها را با گرفتن امید ریاضی از جریانهای نقدی‌شان در صورت وقوع هر یک از پیشامدها، محاسبه کنیم. توجه کنیم که در هنگام گرفتن امید ریاضی باید یا از ضریب تنزیل تصادفی همراه با احتمالهای فیزیکی استفاده کنیم و یا از احتمالهای بی‌تفاوت-به-ریسک. برای مثال با دانستن اطلاعات مثال بالا به سادگی می‌توانیم قیمت سرمایه‌گذاری که در حالت بد 2 دلار و در حالت خوب 4 دلار می‌پردازد را در روز صفر محاسبه کنیم که برابر 2.5 دلار است.

\text{price} = E^*[x] = x_1 \times p_1^* + x_2 \times p_2^* = 4\times  0.25 + 2\times 0.75 = 2.5

\text{price} = E[mx] = x_1 \times  m_1 \times p_1 + x_2 \times m_2 \times p_2 =  4\times  0.5 \times 0.5 + 2\times 1.5 \times 0.5 = 2.5

 

صرفن برای تنوع بیایید به یک مثال ساده دیگر فکر کنیم. فرض کنیم در همان دنیای دو روزه هستیم و در روز یک، دو حالت ممکن است برای کشور الف که واحد پولی‌اش دینار است پیش بیاید: یا جنگ و یا صلح با ایالات متحده آمریکا. اگر در روز یک صلح داشته باشیم قیمت دلار به 5 دینار می‌رسد اما در پیشامد وقوع جنگ در روز یک، به خاطر از بین رفتن زیرساخت‌های اقتصادی کشور الف، قیمت دلار به 505 دینار خواهد رسید.[1] اگر امروز قیمت دلار 10 دینار باشد، احتمال وقوع صلح یا جنگ از دید سرمایه‌گذاران عاقل مثال ما چقدر بوده است؟ با توجه به توضیح بالا واضح است که ما توانایی محاسبه احتمال فیزیکی وقوع جنگ را نداریم اما احتمال بی‌تفاوت-به-ریسک وقوع جنگ با توجه به قیمت، 1 درصد است. اگر فرض کنیم سرمایه‌گذاران ریسک‌گریز هستند، احتمال فیزیکی وقوع جنگ می‌تواند بسیار کوچک‌تر، مثلن حتی 0.1 درصد باشد. با این وجود راهی برای پیدا کردنش با اطلاعات فعلی سوال نداریم، مگر اینکه از میزان ریسک‌گریزی سرمایه‌گذاران مطلع شویم. حالا بیاییم فرض کنیم که رهبران عزت‌مند کشور الف با بیانات و رفتارهایشان کاری کرده‌اند که احتمال فیزیکی وقوع جنگ از 0.1 درصد به 0.2 درصد رسیده که البته همچنان به نظر فرمانده دلاور نیروهای مسلح کشور الف، احتمال بسیار کوچکی است. واضح است که احتمال‌های بی‌تفاوت-به-ریسک هم الان از 1 درصد به 2 درصد رسیده‌اند. در نتیجه به سادگی می‌شود حساب کرد که در شرایط جدید قیمت دلار به 15 دینار می‌رسد یعنی 50 درصد افزایش قیمت ارز به خاطر اضافه شدن یک دهم درصد به احتمال وقوع جنگ.

آیا می‌شود مثال‌های بالا را به شرایط پیچیده‌تر تعمیم داد که در آن دارایی‌های زیاد و حالت‌های متعدد (و حتی ناشمارا) برای جهان وجود دارند؟ دو سوال مهم اینها هستند:

  • در چه شرایطی می‌توان مطمئن بود که احتمالات بی‌تفاوت-به-ریسک وجود دارند؟
  • در چه شرایطی می‌توان مطمئن بود که این احتمالات یکتا هستند؟

جواب این دو سوال آن چیزی است که قضیه بنیادی قیمت‌گذاری دارایی‌ها نامیده شده است. پاسخ سوال اول تحت شرایط مشخصی این است که نبود موقعیت‌های آربیتراژ، شرط لازم و کافی برای وجود اندازه احتمالاتی بی‌تفاوت-به-ریسک است. در مورد سوال دوم شرط لازم و کافی برای یکتا بودن این است که بازار کامل باشد. [2]

به فرض که بپذیریم می‌توان عالم واقع را با یک بازار بدون آربیتراژ و حتی کامل مدل کرد، ساده نیست که فرض کنیم با دو پیشامد یا حتی شمارا پیشامد مواجهیم. بنابراین محاسبه احتمال بی‌طرف-به-ریسک پیشامدها به سادگی مثال ساده بالا و حل سیستم دو معادله-دو مجهول نیست. سوال عملی این است که آیا راهی وجود دارد این احتمالات را از روی قیمت یک یا تعدادی از دارایی‌ها در بازار به دست بیاوریم؟ این باشد برای بعد.

 

[1] در یک نمونه تاریخی ارزش دینار عراق که پیش از جنگ خلیج فارس حدود 3 دلار بود، در طی سالهای بعد از حمله عراق به کویت و جنگ خلیج فارس به چند سنت و بعدن به کسری از یک سنت رسید. این گزارش نیویورک تایمز در سال 1993 را ببینید.

[2] نخستین بار کاکس و راس در 1976 مفهوم احتمالات بی‌تفاوت-به-ریسک را برای قیمت‌گذاری اختیارهای معاملاتی مطرح کردند (+ ، +) و بعدتر هریسون و کرپس در 1979 آن را به شکل دقیق برای تعداد متناهی حالت اثبات کردند(+). شکل‌های تعمیم یافته‌تر این قضیه بعدتر مطرح شده‌اند. (نمونه: + ، +)